Добрый день, может ли ребенок выехать за границу(краткосрочно) с согласием, нота ..

Может, если отец не наложил ограничения на выезд из РФ через пристава. Если ребенок едет с матерью, то никакой доверенности вообще не нужно.

Нет, не может.