Здравствуйте! Должен ли работник искать себе замену во время больничного?

Нет, не должен никого искать.
Это проблемы только работодателя.

Здравствуйте, Уважаемый пользователь сайта.
На основании, ТК РФ Статья 60. Запрещается требовать от работника выполнения работы, не обусловленной трудовым договором.
В сложившейся ситуации при наличии листка нетрудоспособности, исполнение трудовых обязанностей тем более не обусловленные трудовым договором и без выписки, является фактом нарушения условий оказания медицинской помощи, указывается следующий двухзначный код о нарушении, и следствие оплаты по больничному может не быть.
Также, при отсутствии основного работника, у работодателя есть право принять на работу работника на время отсутствия основного сотрудника по срочному трудовому договору, на основании ТК РФ срочный трудовой договор заключается с работником на какой-то период времени, например, на время отсутствия основного сотрудника и до выхода на работу основного сотрудника , и прекращается с выходом основного работника (ст.79 ТК РФ), увольнение не является инициативой работодателя, а является самостоятельным основанием прекращения срочного трудового договора.
Доброго Вам дня.