По каким делам можно требовать компенсацию за неисполнение решения суда?

Согласно ФЗ N-68-ФЗ (почитайте, он небольшой), компенсация может присуждаться только в связи с неисполнением судебных решений по требованиям о взыскании задолженностей за счет бюджета в следующих случаях:

по искам о возмещении вреда, причиненного незаконными действиями (бездействием) государственных органов, органов местного самоуправления либо их должностных лиц;
по административным искам, заявлениям о присуждении компенсации за нарушение права на судопроизводство в разумный срок или права на исполнение судебного акта в разумный срок;
по искам о взыскании денежных средств за счет казны публично-правового образования (гос и муниципальные образования), в том числе в порядке субсидиарной ответственности;
по любым искам, обязывающим произвести выплаты за счет средств бюджетов.
Практика ЕСПЧ показала, что количество удовлетворенных жалоб граждан России, связанных с вопросами получения компенсации от государства, постоянно увеличивается.
В среднем компенсация, присуждаемая ЕСПЧ за отсутствие в РФ эффективных средств правовой защиты от несвоевременного судопроизводства или исполнения судебного акта, составляет 3 000 евро.